segunda-feira, 1 de novembro de 2010

TEORIA DOS JOGOS; o teorema do equilíbrio de Nash


“Jogo é uma atividade entre dois ou mais tomadores de decisões que procuram alcançar seus objetivos em algum contexto limitador” (ABT,1974, p.6). As atividades são regidas por regras que determinam o tempo de duração, o que é permitido e proibido os valores das jogadas e como deverá terminar a partida. É uma ótima ferramenta educativa, pois por meio dele, é possível que os jogadores exercitem habilidades fundamentais ao seu desenvolvimento técnico e psicológico como autodisciplina, sociabilidade, afetividade, valores morais, espírito de equipe e bom senso.
A Teoria dos Jogos é muito utilizada na administração, pois envolve estratégia e economia abordando a tomada de decisões e a interdependência entre os jogadores. Tem a finalidade de prever as ações de concorrentes e aliados para melhor posicionamento, de forma a obter o resultado desejado.
A teoria dos jogos é a aplicação da lógica matemática no processo de tomada de decisões nos jogos, utilizada, na economia, na política, na guerra e caracterizadas, como nos jogos, por conflitos de interesse determinando a melhor estratégia para cada jogador. (ALECSANDRA, 2006)
Em 1654, o filósofo, físico e matemático francês, Blaise Pascal (1623-1662), juntamente com outro matemático francês, Pierre de Fermat (1601-1665), iniciaram estudos sobre a teoria da probabilidade, com o intuito de solucionar com maior rapidez o problema dos pontos num jogo de dados. “Na metade do século XVII, mesmo a matemática era considerada uma atividade amadora de eruditos que não deveria ter consequências sérias para as vidas dos demais”(SILVA). Em seguida, o matemático francês Antoine Augustin Cournot (1801-1877), fez uma análise sobre o ponto de equilíbrio nas estratégias de jogos e formalizou um conceito de equilíbrio. O marco inicial da teoria dos jogos foi com o matemático húngaro-americano John Von Neuman (1903 -1957), que provou a teoria minimax : há sempre uma solução racional para um conflito bem definido entre dois indivíduos com interesses completamente opostos.
O economista alemão Oscar Morgenstern (1902-1977) pretendia publicar o livro Implicações Quantitativas do Comportamento do Máximo,
no qual discute qual deveria ser a unidade de análise econômica: o individualismo ou a interação social. Chegando à conclusão que os indivíduos interagem, então a sua racionalidade é relativa, se a racionalidade do individuo não é plena então a sua maximização também não será. A obra de Morgenstern expõe que o máximo depende diretamente da interação entre os indivíduos e indiretamente do meio no qual os indivíduos interagem. (ALECSANDRA, 2006)
Em 1944 Morgenstern e Von Neuman publicaram The Theory of Games and Economics Behavior (Teoria dos Jogos e Comportamento Econômico), onde desenvolvem uma teoria de jogos para mais participantes, afirmando que a interação entre os agentes afeta diretamente na elaboração de estratégias e tomada de decisão, e colocando a economia como dependente dessa interação. Daí começou a utilização científica das primeiras idéias sobre a teoria dos jogos. Já Borel discute a determinação da estratégia mista, desistindo de procurar a fórmula perfeita para jogos. Em 1950, John Forbes Nash Junior, matemático estadunidense, divulga a tese Non-Cooperative Games (Jogos Não Cooperativos), provando a existência de pelo menos um ponto de equilíbrio em jogos de estratégia para múltiplos jogadores.

teorema do minimax:

Há sempre uma solução racional para um conflito cujos indivíduos conflitantes, possuem interesses completamente opostos. O que é ganho por um lado é perdido pelo outro, criando a situação soma zero:
A combinação de estratégias, na qual o máximo dos mínimos é igual ao mínimo dos máximos, chama-se ponto de equilíbrio do jogo, pois ao escolherem essas estratégias, os jogadores garantem para si um ganho mínimo independente do que o adversário venha a escolher. (ALECSANDRA)

dilema do prisioneiro

Dois suspeitos, A e B, são presos pela polícia. A polícia tem provas insuficientes para os condenar, mas, separando os prisioneiros, oferece a ambos o mesmo acordo: se um dos prisioneiros, confessando, testemunhar contra o outro e esse outro permanecer em silêncio, o que confessou sai livre enquanto o cúmplice silencioso cumpre 10 anos de sentença. Se ambos ficarem em silêncio, a polícia só pode condená-los a 6 meses de cadeia cada um. Se ambos traírem o comparsa, cada um leva 5 anos de cadeia. Cada prisioneiro faz a sua decisão sem saber que decisão o outro vai tomar, e nenhum tem certeza da decisão do outro.
Para qualquer um dos prisioneiros, o melhor resultado possível é não confessar e seu parceiro ficar calado. E até mesmo se seu parceiro trair, o prisioneiro ainda lucra por não cooperar também, já que ficando em silêncio pegará três anos de cadeia, enquanto que, confessando, só pegará dois. Em outras palavras, seja qual for à opção do parceiro, o prisioneiro se sai melhor traindo.
O único problema é que ambos chegarão a essa conclusão: a escolha racional é trair. Essa lógica vai, desta forma, proporcionar a ambos dois anos de cadeia. Se os dois confessassem, haveria um ganho maior para todos, mas a otimização dos resultados não é o que acontece.

john nash e o ponto de equilibrio

John Forbes Nash Junior, é um matemático estadunidense, formado pela Universidade de Princeton. Trabalhou na Teoria dos Jogos, na Geometria Diferencial e na equação de derivadas parciais, atuando como matemático de investigação na mesma universidade. Ganhou vários prêmios como o John Von Neumann Theory Prize, em 1978, por descobertas quanto ao equilíbrio não cooperativo, o Leroy P. Steele Pryze, em 1999, e o Nobel de economia em 1994. Sua vida foi retratada no filme Uma Mente Brilhante, nomeado por oito Oscars, filme que aborda sua vida e o problema de esquizofrenia pelo qual passou.

                            John Von Neumann e Oskar Morgenstern só haviam conseguido resolver os jogos não-cooperativos no caso de rivalidades puras, lucro zero. Em um jogo cooperativo, os jogadores podem fazer compromissos obrigatórios, diferentemente de um jogo não cooperativo. Porém jogos de soma zero, não tem praticamente nenhuma importância para o mundo real. Mesmo na
guerra há, quase sempre, algo a ser obtido da cooperação.
 Dessa forma, é ampliada a teoria para incluir jogos que envolvem uma mistura de cooperação e competição. O equilíbrio estava na situação em que nenhum jogador poderia melhorar sua posição escolhendo estratégia alternativa disponível, sem que isso implique que a melhor escolha feita particularmente por cada pessoa levará a um resultado ótimo. Nash provou que, para uma determinada categoria muito
ampla de jogos com qualquer número de jogadores, existe pelo menos um ponto desequilíbrio, desde que sejam permitidas estratégias mistas.
Assim, Nash generaliza a aplicação da teoria dos jogos para a economia, à ciência política, à sociologia e, finalmente, à sociologia evolutiva e transforma o conceito de equilíbrio de Nash a partir de jogos estratégicos em um dos paradigmas básicos das ciências sociais e da biologia. (MENDES, 2003)

conclusão

A teoria dos jogos depois de todo esse processo de construção tornou-se importante ferramenta na criação de estratégias e planos de ação para os mais variados tipos de situação.
O jogo de empresa se fundamenta em um modelo matemático que simula uma situação de negócios. São apresentados quadros evolutivos com sucessivas alterações de cenários orientados pelo animador do jogo. Este procedimento oferece a oportunidade para que se aprenda pela experiência, sem se pagar o preço que resultaria de decisões errôneas tomadas na vida real (KOPITTKE, 1992, p.12)

No "dilema do prisioneiro" um componente importante no jogo, além das personalidades envolvidas, é a participação da escolha que será feita pela outra parte.e supostamente, as duas partes são amigas e companheiras (ou pertencem a uma mesma empresa), mas na hora que entra no jogo um interesse individual maior, um deles poderá não se comportar como o previsto. Como eles não podem se comunicar (e no caso da empresa, podem existir incentivos organizacionais para não falarem), eles terão que especular qual será o comportamento mais previsível da outra parte, e adotar uma estratégia compatível. (MENDES)
A diferença e vantagem entre o jogo simulado e uma situação real é justamente a oportunidade de correção do erro sem custos altos. Acontecido o erro, o jogador que o cometeu é incentivado a tentar novamente, encontrando maiores chances de aprendizagem.

ALMEIDA, Alecsandra Neri de.  Teoria dos Jogos: As origens e os fundamentos da Teoria dos Jogos. 2006. UNIMESP – Centro Universitário Metropolitano de São Paulo  Disponível em:< http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Alecsandra.pdf
 >. Acesso em: 9 out. 2009.

John Forbes Nash. Wikipédia, a enciclopédia livre. Disponível em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Forbes_Nash >. Acesso em: 9 out. 2009.

BERTO, André Rogério. Teoria dos Jogos. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
MENDES, Gilmar de Melo. A Teoria dos Jogos e o Equilíbrio de Nash. 2003. Disponível em:<http://igc.infonet.com.br/imprimir.asp?codigo=6140&catalogo=5&inicio=30>. Acesso em: 9 out. 2009.

SILVA, Antonio Rogério da. Antecedentes históricos, principais obras e autores. Disponível em: <http://www.discursus.oi.com.br/tjcf/111tjcfc.html>. Acesso em: 9 out. 2009.

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